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算法+数据结构=程序。 —— Nicklaus Wirth (Pascal之父)
学习程序设计时,常听人说起算法,那么究竟什么是算法呢?
算法(Algorithm)是指解题方案的准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说,能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。如果一个算法有缺陷,或不适合于某个问题,执行这个算法将不会解决这个问题。不同的算法可能用不同的时间、空间或效率来完成同样的任务。一个算法的优劣可以用空间复杂度与时间复杂度来衡量。——摘自《》
也就是说算法是为了解决某类问题而规定的一个有限长的操作序列。
算法主要有5种重要特点:
有穷性
一个算法必须在有限的步骤内结束,且每一步都必须在有穷时间完成。(这句话很好理解,毕竟没人会期盼去完成一件没有尽头的任务。话说死循环好像就不算一个算法呢。)确定性
对于每种情况下所应执行的操作,在算法中都有明确规定,不存在二义性。(果然师出数学,脾气都一样,一就是一,二就是二,看来算法不适用于宫斗剧中。)可行性
算法中的所有操作都可以通过已经实现的基本操作运算执行有限次来实现。(很明显,在唐朝造不出火箭,计算机也不能执行超出能力范围的指令。好的算法要符合实际,可以利用现有的函数,框架等等来实现)输入
一个算法有零个或多个输出。(没输入数据咱可以内置呀!这个程序它不香么?)#includeusing namespace std;int main(){ int n=0; cout< <
输出
一个算法有一个或多个输出。(不能干活要你作甚!)问题规模和语句频度
问题规模是指算法求解问题输入量的多少,是问题大小的本质。而一条语句的重复执行次数称为语句频度。(一个算法的执行时间大致等于其所有语句执行的时间。)时间复杂度的定义
上面我们说道,算法的执行时间随着问题的规模增长而增长,所以对算法的评价只需看其增长趋势。在计算机科学中,时间复杂性,又称时间复杂度,算法的时间复杂度是一个函数,它定性描述该算法的运行时间。这是一个代表算法输入值的字符串的长度的函数。时间复杂度常用大O符号表述,不包括这个函数的低阶项和首项系数。使用这种方式时,时间复杂度可被称为是渐近的,亦即考察输入值大小趋近无穷时的情况。——摘自《》
分析方法
(1)只关注循环执行次数最多的一段代码。 (2)总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。 (3)嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积实例
(1)常量阶for(i=0;i<1000;i++){ x++;}
由于算法的执行时间是一个与问题规模n无关的常数,所以算法的时间复杂度为T(n)=O(1).
(2)线性阶
for(i=0;i
由于x自增的频率为f(n)=n,所以算法的时间复杂度为T(n)=O(n),称为线性阶。
(3)平方阶
for(i=0;i
由于x自增频率为f(n)=n2,所以算法的时间复杂度为T(n)=O(n2),称为平方阶。
(4)立方阶
for(i=0;i
由于x自增频率为f(n)=n3,所以算法的时间复杂度为T(n)=O(n3),称为立方阶。
(5)对数阶
for(i=0;i
由于x自增的频率为2f(n)=n,即f(n)=log2n,所以算法的时间复杂度为T(n)=O(log2n),称为对数阶。
最好、最坏和平均时间复杂度
算法在最好情况下的时间复杂度为最好时间复杂度(指算法计算量可能达到的最小值);在最坏情况下的时间复杂度为最坏时间复杂度(指算法计算量可能达到的最大值);算法的平均时间复杂度是指算法在所有可能情况下,按照输入实例等概率出现时,算法计算量的加权平均值。通常只讨论最坏情况下的算法复杂度。空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度,记做S(n)=O(f(n))。比如直接插入排序的时间复杂度是O(n^2),空间复杂度是O(1) 。而一般的递归算法就要有O(n)的空间复杂度了,因为每次递归都要存储返回信息。一个算法的优劣主要从算法的执行时间和所需要占用的存储空间两个方面衡量。——摘自《》
简而言之,就是计算算法需要占用的额外辅助空间。
实例
常数阶
for(i=0;i
该算法只需要额外借用一个变量t,故算法空间复杂度为O(1)。
线性阶
for(i=0;i
该算法需要额外借用一个大小为n的辅助数组,故算法空间复杂度为O(n)。
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